vecto AH=(x+2;y-4); vecto BC=(-6;-2)

vecto BH=(x-4;y-1); vecto AC=(0;-5)

Theo đề, ta có: -6(x+2)-2(y-4)=0 và 0(x-4)-5(y-1)=0

=>y=1 và -6(x+2)=2(y-4)=2*(1-4)=-6

=>x+2=1 và y=1

=>x=-1 và y=1

a) Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = (2 - ( - 4);4 - 1) = (6;3)\\\overrightarrow {BC}  = (2 - 2; - 2 - 4) = (0; - 6)\\\overrightarrow {AC}  = (2 - ( - 4); - 2 - 1) = (6; - 3)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{6^2} + {3^2}}  = 3\sqrt 5 \\BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{0^2} + {{( - 6)}^2}}  = 6\\AC = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = \sqrt {{6^2} + {{( - 3)}^2}}  = 3\sqrt 5 .\end{array} \right.\)

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC, ta có:

\(\cos \widehat A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{{\left( {3\sqrt 5 } \right)}^2} + {{\left( {3\sqrt 5 } \right)}^2} - {{\left( 6 \right)}^2}}}{{2.3\sqrt 5 .3\sqrt 5 }} = \frac{3}{5}\)\( \Rightarrow \widehat A \approx 53,{13^o}\)

\(\cos \widehat B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \frac{{{{\left( 6 \right)}^2} + {{\left( {3\sqrt 5 } \right)}^2} - {{\left( {3\sqrt 5 } \right)}^2}}}{{2.6.3\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\)\( \Rightarrow \widehat B \approx 63,{435^o}\)

\( \Rightarrow \widehat C \approx 63,{435^o}\)

Vậy tam giác ABC có: \(a = 6;b = 3\sqrt 5 ;c = 3\sqrt 5 \); \(\widehat A \approx 53,{13^o};\widehat B = \widehat C \approx 63,{435^o}.\)

b)

Gọi H có tọa độ (x; y)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH}  = (x - ( - 4);y - 1) = (x + 4;y - 1)\\\overrightarrow {BH}  = (x - 2;y - 4)\end{array} \right.\)

Lại có: H là trực tâm tam giác ABC

\( \Rightarrow AH \bot BC\) và \(BH \bot AC\)

\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {90^o} \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 0\) và \(\left( {\overrightarrow {BH} ,\overrightarrow {AC} } \right) = {90^o} \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow {BH} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 0\)

Do đó \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow 0 \).

Mà:  \(\overrightarrow {BC}  = (0; - 6)\)

\( \Rightarrow (x + 4).0 + (y - 1).( - 6) = 0 \Leftrightarrow  - 6.(y - 1) = 0 \Leftrightarrow y = 1.\)

Và \(\overrightarrow {AC}  = (6; - 3)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow (x - 2).6 + (y - 4).( - 3) = 0\\ \Leftrightarrow 6x - 12 + ( - 3).( - 3) = 0\\ \Leftrightarrow 6x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}.\end{array}\)

Vậy H có tọa độ \(\left( {\frac{1}{2}}; 1 \right)\)

Gọi I(a; b) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

A I 2 = B I 2 A I 2 = C I 2 ⇔ a − 0 2 + b − 2 2 = a + 2 2 + b − 8 2 a − 0 2 + b − 2 2 = a + 3 2 + b − 1 2

⇔ a 2 + b 2 − 4 b + 4 = a 2 + 4 a + 4 + b 2 − 16 b + 64 a 2 + b 2 − 4 b + 4 = a 2 + 6 a + 9 + b 2 − 2 b + 1

4 a − 12 b = − 64 6 a + 2 b = − 6 ⇔ a − 3 b = − 16 3 a + b = − 3

⇔ a = − 5 2 b = 9 2

Chọn B.

Tọa độ trọng tâm G x G ; y G  là x G = 1 − 2 + 5 3 = 4 3 y G = 3 + 4 + 3 3 = 10 3 .  

Chọn D.

Ta có A H → = a + 3 ; b  ;   B C → = − 1 ; 6 B H → = a − 3 ; b  ;  A C → = 5 ; 6 .  

Từ giả thiết, ta có:

               A H → . B C → = 0 B H → . A C → = 0 ⇔ a + 3 . − 1 + b .6 = 0 a − 3 .5 + b .6 = 0 ⇔ a = 2 b = 5 6 ⇒ a + 6 b = 7.

 Chọn C.

Ta có A H → = a + 3 ; b  ;   B C → = − 1 ; 6 B H → = a − 3 ; b  ;  A C → = 5 ; 6 .  

Từ giả thiết, H là trực tâm tam giác ABC nên ta có:

      A H → . B C → = 0 B H → . A C → = 0 ⇔ a + 3 . − 1 + b .6 = 0 a − 3 .5 + b .6 = 0 ⇔ a = 2 b = 5 6 ⇒ a + 6 b = 7.  

Chọn C.

Giả sử trực tâm của tam giác ABC có tọa độ \(H\left(x;y\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{BC}=\left(6;-2\right)\\\overrightarrow{AH}=\left(x-1;y\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\overrightarrow{BC}\perp\overrightarrow{AH}\Leftrightarrow\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0\)

\(\Leftrightarrow6\left(x-1\right)-2y=0\)

\(\Leftrightarrow3x-y=3\left(1\right)\) 

Lại có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(-2;1\right)\\\overrightarrow{CH}=\left(x-5;y+1\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{CH}\Leftrightarrow\overrightarrow{CH}.\overrightarrow{AB}=0\)

\(\Leftrightarrow-2\left(x-5\right)+y+1=0\)

\(\Leftrightarrow-2x+y=-11\left(2\right)\)

\(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-8\\y=-27\end{matrix}\right.\Rightarrow H\left(-8;-27\right)\)